Позиции, перенумерованные таким образом, называют разрядами числа (в заданном числе количество разрядов равно n).

Далее, если считать, что приведенная выше последовательность изображает число в системе счисления с основанием r, то каждая из цифр этой последовательности может принимать одно из значений диапазона

r-1 >=аi>=0 (1.2)

0 ÷ 9 – в десятичной, 0 ÷ 1 – в двоичной.

Для оценки количественного значения каждого разряда числа используется основание системы счисления, которое указывает, во сколько раз единица i+1 разряда больше единицы i предыдущего младшего разряда Таким образом, заданное число можно представить так

(1.3)

Данное выражение используется для записи чисел в любой позиционной системе счисления. Рассмотрим в качестве примера широко известную десятичную систему счисления, в которой для обозначения используется десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) и за основание взято число десять (10).

Запишем пару чисел 230 и 127 десятичной системы счисления, пользуясь указанным выше выражением

1) 230 = 2•102 + 3•101 + 0•100

2) 127 = 1•102 + 2•101 +7•100

Двоичная система счисления

Основанием двоичной системы счисления является число два. Любые числа в этой системе изображаются последовательностью цифр 0 и 1. При этом каждый старший разряд больше соседнего младшего в два раза.

Для получения значения двоичного числа 10101 в десятичной системе счисления достаточно вычислить написанное выражение

101012 = 1 •24 + 0 •23 + 1 •22 + 0 •21 + 1 •2° = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 2110

В дальнейшем основание системы счисления будем указывать в качестве нижнего индекса у самой правой цифры числа, например 12510 - десятичная система счисления, 10112 - двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления целые десятичные числа от нуля до девяти соответственно изображаются так

Табл. 1.5

Десятичная
Двоичная

Шестнадцатеричная система счисления

Вскоре появилась необходимость в адресации 2 байт, которые назвали "словом". Для такой адресации было явное преимущество использования шестнадцатеричной системы исчисления перед восьмеричной, т е системы для адресации 8•2=16 бит

В шестнадцатеричной системе счисления используется следующие цифры и символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А - десять, В - одиннадцать, С - двенадцать, D - тринадцать, Е - четырнадцать, F - пятнадцать. За основание системы счисления берется число шестнадцать, изображаемое как 10.

Например, для числа

5A316=5·16²+10·161+3·160 = 5·256 +10·16+3·1= 1280+160+ 3= 144310

Таблица перевода чисел из шестнадцатеричной системы в другие

016 = 010 = 08 =
116 = 110 = 18 =
216 = 210 = 28 =
316 = 310 = 38 =
416 = 410 = 48 =
516 = 510 = 58 =
616 = 610 = 68 =
716 = 710 = 78 =
816 = 810 = 108 =
916 = 910 = 118 =
A16 = 1010 = 128 =
B16 = 1110 = 138 =
C16 = 1210 = 148 =
D16 = 1310 = 158 =
E16 = 1410 = 168 =
F16 = 1510 = 178 =

Лекция 3

Двоичная арифметика

Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются по правилам, указанным в таблице 1.6.

Табл. 1.6

Над числами в двоичной системе счисления можно выполнять арифметические действия.

При этом используются следующие таблицы:

Сложение Вычитание Умножение
0+0=0 0-0=0 0*0=0
1+0=1 1-0=1 1*0=0
0+1=1 1-1=0 0*1=0
1+1=10 10-1=1 1*1=1

Рассмотрим примеры:

Запись операции Расчет столбиком
1 1 0 1 0 12 + 1 1 0 1 12
1 1 0 1 12 - 1 1 0 12
1 1 0 1 12 * 1 0 12

Для деления в двоичной системе счисления нужно уметь сравнивать числа (определять, какое больше) и хорошо вычитать. Посмотри деление на анимированном примере Пример:

Еще несколько примеров:

Пример сложения «столбиком» (14 + 5 = 19):

+

Пример умножения «столбиком» (14 × 5 = 70):

×
+

Двоичная система счисления широко используется для представления данных в вычислительных машинах. Это связано с тем, что в этой системе счисления очень просто выполняются арифметические и логические действия, а для представления двоичных чисел в машине можно использовать достаточно простые электронные элементы.


5330453193938386.html
5330503776270475.html
    PR.RU™